Стояча хвиля

 Математичний опис стоячих хвиль 

Встановлення стоячої хвилі

Особливим випадком інтерференції є утворення стоячих хвиль.

Стоячі хвилі – це результат накладання двох біжучих когерентних хвиль з однаковими амплітудами, які поширюються назустріч одна одній.  

Характерною особливістю стоячих хвиль  є наявність у ній вузлів, у яких  амплітуда хвилі дорівнює нулю, та пучностей, у яких амплітуда максимальна, причому положення вузлів і пучностей залишається незмінним у просторі.

Розглянемо дві хвилі однакової частоти, довжини та амплітуди, що розповсюджуються в протилежних напрямках (напприклад назустріч одна одній).  В результаті їх взаємодії (накладання) виникає стояча хвиля.

Енергія хвиль

  Енергія пружної хвилі

Механічна хвиля в стержні

Процес поширення хвиль в пружному середовищі супроводжується перенесенням енергії від джерела хвилі у навколишнє середовище, від одних ділянок до інших.

 
Нехай у пружному середовищі вздовж осі Ох поширюється поздовжня хвиля:

 ξ(x,t) = А cos(ωt – kx).

Знайдемо енергію, яку переносить ця хвиля.

 
Умовно виділимо в цьому середовищі малий об’єм ΔV, в якому всі частинки коливаються в однаковій фазі і швидкості частинок однакові. Значення швидкості частинки v знайдемо з рівняння хвилі:

 v = (ξ)´ = - Aωsin(ωt – kx).

ДЗ – 2

Механічні коливання. 

Домашнє завдання №2

Завдання виконати в тоненькому зошиті

 на середу 30.11.2016 р.

Принцип Гюйгенса

 Принцип Гюйгенса

Християн Гюйгенс

Закони поширення хвиль легко зрозуміти скориставшись принципом Гюйгенса. (Християн Гюйгенс ( 14 квітня 1629 — 8 липня 1695) — нідерландський фізик, механік, математик і астроном, винахідник маятникового годинника з анкерним обмежувачем, автор хвильової теорії світла та праць з оптики і теорії імовірності, відкривач кільця Сатурна і його супутника.).

Кожна точка поверхні, яку досягнула в даний момент хвиля є точковим джерелом вторинних хвиль. Поверхня, дотична до всіх вторинних хвиль, є хвильовою поверхнею в наступний момент часу. 

Метод розмірностей

Один із методів розв'язку задач 

  засвоюємо вивчене

Оптична гра системи математичних маятників

Продовження; початок тут

Познайомимось з методом, котрий існує з часів великого Ньютона. Найчастіше його використовують при перевірці правильності отриманих формул, значно рідше – при розв’язку конкретних задач і отриманні певної функційної залежності.

Минаючи певні математичні особливості обгрунтування цього методу сформулюю коротко його сутність:

Нехай  розмірна фізична величина f  залежить від інших розмірних величин A, B, C, D…, тоді формула зв’язку всіх цих величин може мати лише такий вигляд:

  f =  k A^αB^βC^γD^δ…

В останньому співвідношенні к – певна невідома константа, яку неможливо визначити точно за допомогою цього методу. Показники степені α,β,γ,δ… обчислюються з умови тотожності розмірностей правої і лівої частини співвідношення.

Швидкість механічної хвилі

  Швидкість хвилі в пружному середовищі

Прочитати, законспектувати та вивчити 

Хвилі на воді від гелікоптера

Нехай відомо, що швидкість поширення механічних хвиль залежить від густини середовища та його пружніх характеристик – коефіцієнта Е (модуля Юнга).

Знайдемо вираз для швидкості хвиль, скориставшись методом розмірностей:

 v = E^a·ρ^b

Розмірність [v] = LT^-1,

розмірність [E] = ML^-1T^-2,

розмірність [ρ] = ML^-3.

Тоді:

[v] = [E^a·ρ^b] → LT^-1 = (ML^-1T^-2)^a·( ML^-3)^b →

0 = a + b

1 = -a – 3b

-1 = -2a.

З останнього рівняння отримаємо: а = ½, а, враховуючи перше, матимемо: 

b = -a = -1/2.

Отже формула для швидкості звуку (чи поздовжньої хвилі) у стержні з металу матиме вигляд

 v = E^1/2ρ^-1/2 = (E/ρ)^1/2.

Подивимось який результат дає точна теорія.

ДКР №9

Домашня Контрольна Робота №9

на вівторок 22.11.2016 р.

Завдання здати до першого уроку на окремих скріплених листочках!

3.3.18 а); 3.3.18 б); 3.3.19; 3.3.25; 3.4.1; 3.4.2; 

3.5.4; 3.5.5; 3.5.6; 3.5.7; 3.5.8 3.5.9.

Бажаю успіху!

Хвилі

Механічні хвилі та їх характеристики

Розглянемо пружне середовище, між частинками якого існують сили взаємодії Тіло, яке коливається в пружному середовищі, періодично діє на прилеглі до нього частинки середовища, виводячи їх з положення рівноваги і змушуючи здійснювати вимушені коливання. При цьому середовище поблизу тіла деформується і в ньому виникають пружні сили. Ці сили діють як на прилеглі до тіла частинки, намагаючись повернути їх у положення рівноваги, так і на віддаленіші від тіла частинки, виводячи їх з положення рівноваги. Віддаленіші від тіла області середовища поступово втягуються в коливальний рух.

Процес поширення коливань в суцільному середовищі, яке неперервно розподілене в просторі і має пружні властивості, називається механічним хвильовим процесом, або механічною хвилею.

При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються біля свого положення рівноваги.  

Основна властивість всіх хвиль є перенос енергії без переносу речовини.

Пружними (або механічними) хвилями називаються поширення коливань у пружному середовищі. Механічні (пружні) хвилі бувають поперечні і поздовжні.

Рис. 1 Поперечна механічна хвиля

Маятник Максвелла

 Вивчаємо коливання. Маятник Максвелла

Окрім  відомого маятника Фуко, не меншою популярністю користується інший маятник – Максвелла.

Маятник Максвелла або YO-YO

Опишемо рух цієї коливальної системи. Центр мас маятника опускається з лінійним прискоренням а, яке шукатимемо з другого закону Ньютона, записаного в проекціях на вісь, котра співпадає з напрямком прискорення:

Автоколивальна система

Механічні коливання.  Автоколивальні системи

Анкерний механізм та храпове колесо

Незгасаючі вимушені коливання можна отримати дією зовнішньої періодичної сили на коливальну систему. Проте існують коливальні системи, котрі самі здатні керувати зовнішнім впливом, забезпечуючи узгодженість дії сили зі своїм періодичним рухом. Така система називається автоколивальною, а здійснені нею незгасаючі коливання – автоколиваннями.

Автоколивання – незгасаючі коливання, спричинені сталим зовнішнім впливом на систему, котра сама регулює її частоту.

Резонанс

Такомський міст

Механічні коливання. Резонанс

   

Масивні залізо-бетонні конструкції вигинаються немов папір

Кожне тіло характеризується власною частотою вільних незгасаючих коливань. Якщо на коливальну систему подіяти зовнішньою періодичною силою, частота коливання якої майже дорівнює частоті вільних коливань тіла, то різко зростає амплітуда коливань системи. Дане явище у фізиці називають резонансом.

Інша фаза коливань мосту

Явище резонансу може бути причиною руйнування машин, будівель, мостів, якщо їх власні частоти співпадають з частотою періодично діючої сили. Тому, наприклад, двигуни в автомобілях встановлюють на спеціальних амортизаторах, а військовим підрозділам при русі по мосту забороняється йти «в ногу». 

Вивчаємо складні коливання

Поняття про розклад Фур'є

     варто знати   

Розклад в тригонометричний ряд Фур'є

Більшість коливних процесів періодичні, проте ангармонічні, тобто їх не можна зобразити гармонічними функціями синуса або косинуса.

Теорема  Фур’є твердить, що будь-який періодичний процес із періодом  Т = 2π/ω, де ω – циклічна частота, можна описати як суму нескінченного ряду функцій гармонічних коливань з частотами ω₀, кратними основній частоті ω.

ДКР №8

Домашня Контрольна Робота №8

на вівторок 15.11.2016 р.

Завдання здати до першого уроку на окремих скріплених листочках!

3.2.1 а); 3.2.1 б); 3.2.16; 3.2.23; 3.2.33; 3.3.2; 

3.3.5; 3.3.6; 3.3.12; 3.3.13; 3.3.28; 3.3.29.

Бажаю успіху!

Додавання коливань

Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Фігури Ліссажу

Фігури Ліссажу. Відношення a/b - відношення власних частот незатухаючих коливань

Розглянемо коливальну систему, яка складається з точкової маси m та зв’язаних з нею чотирьох пружин (мал. 1 вид зверху).  Така система володіє двома ступенями вільності. 

Коливальний механічний рух

Механічні коливання

повторення

Пружинний маятник

Коливаннями або коливальними рухами називають такі види механічного руху чи зміни стану системи, які періодично повторюються в часі, наприклад, механічні коливання тіла на пружині, коливання маятників, коливання струн, вібрації фундаментів будівель, електромагнітні коливання в коливальному контурі.

За фізичною природою коливання поділяють на: 

механічні та електромагнітні.

За характером коливань - 

на вільні, вимушені та автоколивання.

Хоча коливання досить різноманітні за своєю фізичною природою, але вони мають спільні закономірності й описуються однотипними математичними методами.

Механічні коливання - періодичне зміщення тіла то в один, то в другий бік відносно положення рівноваги.

Механічна система, в якій одне або декілька тіл можуть здійснювати коливальні рухи, називають коливальною системою.

Коливання, які відбуваються лише під дією внутрішніх сил, називають вільними. 

ДКР №7

Домашня Контрольна Робота №7

на вівторок 8.11.2016 р.

Завдання здати до першого уроку на окремих скріплених листочках!

3.2.4; 3.2.5; 3.2.6; 3.2.7; 3.2.10; 3.2.11; 

3.2.17*; 3.2.22 а); 3.2.22 б)*; 3.2.28; 3.3.1; 3.3.3.

 

Бажаю успіху!