четвер, 2 березня 2017 р.

Швидкість звукової хвилі

Адіабатична звукова хвиля 

***
Припустимо, що внаслідок короткочасної дії  на стержень (наприклад, удар молотка) в ньому виникає хвильовий імпульс, який поширюється по всій довжині стержня. Сила, яка подіяла на стержень, за час dt змістила частинки масою
  
dm = Sv∙dρ∙dt,  
та надала їй імпульс  
v∙dm = Sv2∙dρ∙dt.

 Значення сили, яка здійснила ці зміни знайдемо з другого закону Ньютона:


F = v∙dm/dt = Sv2∙dρ


 З іншого боку значення цієї ж сили знайдемо через зміну тиску dp:


F = S∙dp


 Прирівнявши ліві сторони обох рівнянь та скорочуючи площу поперечного перерізу стержня отримуємо загальну формулу для визначення швидкості поширення звукової хвилі через  невеликі зміни густини та тиску:
 v = (dp/dρ)1/2
Скористаємось цією формулою, та визначимо швидкість поширення акустичної звукової хвилі у газах.



1. Ізотермічна звукова хвиля 

 Вважатимемо, що зміна тиску при поширенні звукової хвилі підлягає закону Бойля-Маріотта – ізотермічна хвиля. Така хвиля реалізується при малих частотах звуку.

pV = const


pV = (m/μ)•RT


p/ρ = const


 Продиференціюємо по густині останнє рівняння


 (p/ρ)' ={ ρ∙dp/dρ – p}/ρ2 = 0


 З останнього співвідношення знайдемо, що


Vізот = (р/ρ)1/2 = (RT/μ)1|2


 Отримана формула добре описує значення швидкості звукової хвилі при невеликих частотах, проте із збільшенням частоти звуку теоретичні значення швидкостей розходяться і з експериментально виміряними.
2. Адіабатична звукова хвиля 

 Вважатимемо, що звукова хвиля поширюється в газах і при цьому зміна тиску узгоджується формулою Пуассона, а сама хвиля є адіабатичною.

pVγ = const
pV = (m/μ)•RT
p/ργ = const
Продиференціюємо по густині останнє рівняння

(p/ργ)' ={ ργ∙dp/dρ – pγργ-1}/ρ2γ = 0


 З останнього співвідношення знайдемо, що

Vадіаб = (γр/ρ)1/2 = (γRT/μ)1|2

де γ = ср/сv  - показник адіабати.


Остання формула більш точно описує швидкість поширення акустичної звукової хвилі в газоподібному середовищі.
Доцільно прочитати:





Опубліковано о
Мітки: ,