четвер, 17 листопада 2016 р.

Метод розмірностей

Один із методів розв'язку задач 
  засвоюємо вивчене

Оптична гра системи математичних маятників

Продовження; початок тут

Познайомимось з методом, котрий існує з часів великого Ньютона. Найчастіше його використовують при перевірці правильності отриманих формул, значно рідше – при розв’язку конкретних задач і отриманні певної функційної залежності.

Минаючи певні математичні особливості обгрунтування цього методу сформулюю коротко його сутність:
Нехай  розмірна фізична величина f  залежить від інших розмірних величин AB, C, D…, тоді формула зв’язку всіх цих величин може мати лише такий вигляд:
  f =  k AαBβCγDδ
В останньому співвідношенні к – певна невідома константа, яку неможливо визначити точно за допомогою цього методу. Показники степені α,β,γ,δ… обчислюються з умови тотожності розмірностей правої і лівої частини співвідношення.

ЗАДАЧА: Отримати методом розмірностей формулу періоду коливань математичного маятника.
        
Із експерименту відомо, що період коливання математичного маятника може залежати від довжини нитки, маси тягарця, прискорення вільного падіння і, тому,

T = k•lαgβmγ
[ T ] = [ lαgβmγ ]
c1 = мαмβс-2βкгγ

З останнього співвідношення з умови тотожності розмірностей обох частин отримаємо систему з трьох алгебраїчних рівнянь для знаходження показників степенів

1 = -2β
0 = α + β
0 = γ

Розвязок системи наступний: β = ½, α = ½, γ = 0. Враховуючи це, формула періоду коливань набуває наступного вигляду

T = k•l1/2g-1/2m0

Остання формула вказує на те, що період коливань математичного маятника не залежить від маси вантажа. Невідомою залишається константа к, яку слід шукати експериментально (вона дорівнює  к = 2π). Тоді шукана формула набуває вигляду

T = 2π(l/g)1/2




ЗАДАЧА (самостійно). Визначіть період обертання планети навколо своєї осі, якщо її маса М, радіус R і гравітаційна постійна γ.
( Відповідь: T = 2π(R3/γМ)1/2 )
ЗАДАЧА (самостійно). Визначіть методом розмірностей формулу кінетичної енергії тіла, якщо К = ½ f(m,v).