середа, 30 листопада 2016 р.

Стояча хвиля

 Математичний опис стоячих хвиль 

Встановлення стоячої хвилі


Особливим випадком інтерференції є утворення стоячих хвиль.

Стоячі хвилі – це результат накладання двох біжучих когерентних хвиль з однаковими амплітудами, які поширюються назустріч одна одній 
Характерною особливістю стоячих хвиль  є наявність у ній вузлів, у яких  амплітуда хвилі дорівнює нулю, та пучностей, у яких амплітуда максимальна, причому положення вузлів і пучностей залишається незмінним у просторі.


Розглянемо дві хвилі однакової частоти, довжини та амплітуди, що розповсюджуються в протилежних напрямках (напприклад назустріч одна одній).  В результаті їх взаємодії (накладання) виникає стояча хвиля.


Наприклад, гармонічна хвиля розповсюджуючись вправо, досягаючи кінця струни, продукує стоячу хвилю. Хвиля, що відбивається від кінця повинна мати таку саму амплітуду та частоту, як і падаюча хвиля.


Стояча хвиля як результат накладання падаючої та відбитої

Розглянемо падаючу та відбиту хвилі у вигляді:


S1 = A0 sin (kx – ωt)
S2 = A0 sin (kx +  ωt)


де: A0 - амплітуда хвиліωциклічна (круговачастотащо вимірюється в радіанах за секунду;  k - хвильовий векторвимірюється в радіанах на метр (к= 2π/λ); та t - змінні  довжини та часу.


Pезультуюче рівняння для стоячої хвилі y буде сумою  S1 та S2:


S = S1 + S2 =  A0 sin (kx – ωt)  + A0 sin (kx + ωt)


Використовуючи тригонометричні співвідношення (проробити це самостійно та записати перетворення в зошит з лекцій), це рівняння можна переписати у вигляді:


S = 2A0 cos (ωt)∙sin (kx).


Якщо розглядати моди (коливання із певними значеннями хвильового вектора називаються  модамиx  = 0, λ/2, 3λ/2, … ;  та антимоди x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, … ,   то відстань між сусудніми модами (антимодами)  дорівнюватиме  половині довжини хвилі λ/2.



Моди коливання струни

Більше ...